Le domande improvvise: cosa sono media aritmetica e media geometrica?

Nel valutare il rendimento medio di un investimento potreste imbattervi in due modalità di calcolo differenti. L’utilizzo di media aritmetica e media geometrica porta spesso a conclusioni sensibilmente differenti. Cosa intendiamo per media aritmetica e media geometrica? Prendiamo ad esempio un investimento di 1000 euro della durata di 2 anni, valutiamolo alla fine di ogni anno. Ecco la tabella:  

Periodo	Rendimento	Valore investimento
1	+100%	2000
2	-50%	1000

  La media aritmetica non sarà altro che la somma dei rendimenti divisa per il numero di periodi, quindi il 25%. La media aritmetica mi restituisce il rendimento medio dell’investimento per singolo periodo. Alla base del suo calcolo vi è l’ipotesi che il valore dell’investimento all’inizio di ogni periodo sia sempre uguale.  La media aritmetica è quindi un buon indicatore per valutare il rendimento atteso nel periodo immediatamente successivo. Se vogliamo, invece, analizzare il rendimento su più periodi dobbiamo ricorrere ad un altro tipo di calcolo: la media geometrica. In questo caso il valore iniziale di ogni periodo risente del rendimento conseguito alla fine del periodo precedente. Il calcolo è dato da questa formula:  

oppure

Dove R1, Rt2 ed Rt sono i rendimenti per ogni singolo periodo. Effettuando il calcolo per il nostro investimento otteniamo che il rendimento geometrico è pari a 0. Questo risultato non ci sorprende in quanto il valore finale dell’investimento è pari al valore iniziale. Rispetto alla media aritmetica cambia l’orizzonte temporale di valutazione. La media geometrica è un buon metodo per analizzare il rendimento di un investimento su più periodi. La media geometrica risulta sempre inferiore rispetto alla media aritmetica e questo perchè la seconda tiene conto delle variazioni del valore dell’investimento ad ogni inizio di periodo. La differenza tra le due medie sarà tanto maggiore quanto maggiore sarà l’alternanza di rendimenti annuali positivi e negativi. Solo nel caso in cui i rendimenti annui siano tutti pari a zero la media geometrica e quella aritmetica saranno uguali. La media aritmetica e la media geometrica sono due importanti concetti matematici, da non sottovalutare quando vengono proposti degli investimenti. Se un determinato fondo ha una media aritmetica annua del 5% questo significa che è lecito attendersi per l’anno successivo un rendimento del 5% ma, su più periodi, dovremo attenderci un rendimento effettivo inferiore. E questo rendimento geometrico sarà tanto più inferiore quanto più i rendimenti annuali saranno caratterizzati da una alternanza di valori positivi e negativi. In questi esempi non abbiamo contemplato l’ipotesi che vengano aggiunti o tolti fondi all’investimento nel corso dei 2 periodi. In questi casi anche la media geometrica rischia di non essere efficace ed occorrerà utilizzare un altro tipo di rendimento, ossia il tasso interno di rendimento (o money-weighted return) ma questo sarà oggetto di un’altra “domanda improvvisa”.